کتاب استاتیک 1

فهرست مطالب
فصل 1 11
مقدمه¬ای بر استاتیک 11
1-1 قوانین حرکت نیوتن 14
1-2 واحدهای اندازه گیری 20
1-4 حل مسئله 27
فصل 2 31
نیروها و سایر بردارها 31
2-1 بردارها 31
2-2 بردارهای یک¬بعدی 34
2-3 مختصات دوبعدی و بردارها 36
2-4 دستگاه مختصات سه¬بعدی و بردارها 43
2-5 بردارهای یکه 55
2-6 جمع بردارها 62
2-7 ضرب داخلی بردارها 71
2-8 ضرب خارجی بردارها 83
2-9 تمرینه¬ای فصل 2 92
فصل 3 93
تعادل ذرات 93
3-1 تعادل 93
3-2 ذرات 95
3-3 تعادل ذرات در فضای یک¬بعدی 96
3-4 تعادل ذرات در فضای دوبعدی 108
3-5 تعادل ذرات در فضای سه¬بعدی 129
3-6 تمرین¬های فصل 3 140
فصل 4 142
لنگرها و تعادل استاتیکی 142
4-1 جهت لنگر 143
4-2 اندازه لنگر 145
4-3 مولفه¬های اسکالر 146
4-4 قضیه وارینیون1 149
4-5 لنگرهای سه¬بعدی 158
4-6 کوپل¬ها 168
4-7 تبدیلات معادل 170
4 -8 سیستم¬های معادل استاتیکی 175
4-9 تمرین¬های فصل 4 185
فصل 5 186
تعادل اجسام صلب 186
5-1 درجات آزادی 186
5-2 دیاگرام جسم آزاد 188
5-3 معادلات تعادل 196
5-4 تعادل اجسام صلب در فضای دوبعدی 197
5-5 تعادل اجسام صلب در فضای سه¬بعدی 206
5-6 پایداری و معینی سازه 211
5-7 مثال¬های پایداری 214
5-3 تمرین¬های فصل 5 216
ضمائم 218

نیروها و سایر بردارها

قبل از اینکه بتوانید مسائل استاتیک را حل کنید، لازم است کمیت­های اصلی فیزیکی را که در استاتیک بکار می­روند، درک نمائید: کمیت­های اسکالر و کمیت­های برداری.

اسکالرها کمیت­های فیزیکی هستند که جهت ندارند و می­توانند با یک عدد منفی یا مثبت، و یا حتی صفر بیان شوند. اسکالرها از قواعد جبری تبعیت می­کنند، و بیشتر کمیت­های اسکالر دارای واحد می­باشند. مقادیر جرم، زمان، درجه حرارت و طول همه اسکالر هستند.

بردارها کمیت­های فیزیکی هستند که دارای جهت و اندازه می­باشند. در این کتاب بردارها با حروف درشت نوشته می­شوند، مانند r یا F. اولین کمیت برداری که در استاتیک مواجه می­شویم بردار نیرو است، البته بردارهای لنگر و موقعیت هم مهم هستند. در محاسبات برداری باید جهت­پذیری هم در نظر گرفته شود و از جبر برداری استفاده گردد، به شکلی که در این فصل به آن اشاره خواهد شد.

2-1 بردارها

سوالات اصلی

• کمیت اسکالر و کمیت برداری چه تفاوتی با هم دارند؟
• چکونه ابتدا، انتها، راستا، جهت و اندازه یک بردار ترسیم شده را تشخیص می­دهیم.
• استاندارد نمایش یک کمیت اسکالر و کمیت برداری در این کتاب چیست؟
• تفاوت بین راستا و جهت یک بردار چیست؟

می­توان بردار را مانند یک تیر تصور نمود که به سمت خاصی جهت گیری شده است. نوک تیر جهت اثر و انتهای تیر دنباله آنرا نشان می­دهد. امتداد ابتدا و انتهای تیر راستای اثر بردار را نشان می­دهد. راستای بردار را می­توان یک ریسمان نامرئی فرض نمود که بردار می­تواند روی آن بلغزد. حرکت بردار در راستای خط اثرش جهت و اندازه آنرا تغییر نمی­دهد. امکان حرکت دادن بردار در راستای خط اثرش یک روش آسان برای ساده­سازی مسائل  برداری است.

شکل 2-1-1 تعریف بردار

فرم استاندارد برای نمایش یک بردار این است که در بالای نام آن یک علامت بردار یا خط تیره می­کشند، و یا نام بردار را با حروف درشت می­نویسند. هرسه این روش­ها مفهوم یکسانی دارند.

برداری بنام F

بیشتر کتاب­های چاپی از جمله این کتاب از حروف بزرگ برای نمایش بردار استفاده می­کنند، ولی موقع نوشتن دستی، از علامت بردار یا خط تیره در بالای نام بردار استفاده می­شود.

بردارهای نیرو که به جسم فیزیکی اعمال می­شوند، یک نقطه اثر دارند، نقطه­ای که نیرو در آن به جسم اعمال می­شود. سایر بردارها مانند بردار لنگر بردار آزاد هستند، به این معنی که نقطه اثر آنها مهم نیست. بردارهای آزاد را می­توان آزادانه به هر نقطه انتقال داد، به شرطی که جهت و اندازه آن تغییر نکند.

اندازه بردار یک عدد حقیقی مثبت است که دارای واحد می­باشد و قدرت و یا شدت بردار را نشان می­دهد. در حالت ترسیمی اندازه بردار را با طول بردار، و در حالت نوشتاری با قرار دادن نام بردار در وسط دو خط قائم نشان می­دهند. این همان علامت قدرمطلق برای اعداد می­باشد. هم قدر مطلق  یک عدد و هم اندازه بردار را می­توان به شکل فاصله از مبدا در نظرگرفت، بنابراین، استفاده از علامت قدرمطلق منطقی می­باشد. بطور قراردادی اندازه یک بردار را با همان نام بردار نشان می­دهند، ولی از حرف درشت استفاده نمی­کنند.

اندازه بردار F  = Fú F =ú

اندازه بردار به تنهایی یک کمیت اسکالر می­باشد، ولی بی معنی است که بگوییم اندازه بردار منفی است، بنابراین، اندازه بردار همیشه یک عدد مثبت یا صفر است. با ضرب کردن بردار در عدد 1- برداری بدست می­آید که اندازه آن تغییر نمی­کند، ولی جهت آن معکوس می­شود.

جهت بردار همیشه نسبت به یک دستگاه مختصات مفروض، مشخص می­شود. دستگاه مختصات یک مرجع اختیاری است که برای تعیین مبدا مختصات و جهت های اصلی بکار می­رود.  فاصله­ها معمولاً از مبدا اندازه­گیری می­شوند و جهت ها نسبت به جهت های مرجع سنجیده می­شود. شما احتمالا با دستگاه مختصات کارتزین آشنا هستید که در آن محورهای x، y   و z  دو به دو برهم عمودند و مبدا مختصات در محل تقاطع آنهاست.

راه دیگر تعریف یک بردار این است که راستا و علامت آن مشخص گردد. راستا نشان دهنده زاویه­ای است که خط اثر بردار با یک خط مرجع بوجود می­آورد(مثلاً محور x)، و علامت نشان دهنده جهت اثر بردار در راستای خط اثر است. یک بردار یا علامت مثبت در جهت مثبت محور اثر می­کند و بالعکس.

راه سوم برای نشان دادن بردار، استفاده از بردار یکه می­باشد که به یک عدد اسکالر ضرب می­شود، این مقدار مولفه اسکالر نامیده می­شود. بردار یکه برداری است با طول واحد(بی بعد – بدون دیمانسیون) که در جهت معینی اثر می­کند. بنابراین، بردار یکه برداری است که صرفا جهت را نشان می­دهد، بدون اینکه اندازه و واحد اندازه­گیری داشته باشد. مولفه اسکالر یک عدد دارای بعد و علامت است منفی یا مثبت، که هم اندازه و هم جهت را نشان می­دهد. این مولفه نباید با اندازه بردار اشتباه گرفته شود که همیشه مثبت است.

بردارها یا ثابت هستند و یا نسبت به زمان، موقعیت و یا سایر عوامل تغییر می­کنند. برای مثال، اگر نیرو طبق رابطه زیر نسبت به زمان متغیر باشد  [N]  t 10 = F(t) که در آن t زمان به ثانیه است، در این­صورت مقدار نیرو در ثانیه صفر برابر صفر بوده و بعد از آن در هر ثانیه 10 نیوتن اضافه می­گردد.