فهرست

عنوان                                                                                                            صفحه

فصـل اول  13

مقدمه‌ای بر ماهواره و کنترل وضعیت    13

حسابان کسری   17

پیدایش حسابان کسری.. 17

حسابان کسری در کنترل. 18

فصـل دوم  23

تعریف مسأله  23

هندسه مسأله  23

ورودی‌ها و خروجی‌های سیستم   26

فصـل سوم  27

روش تحقيق کدنويسي   27

روش تحقیق تحلیلی و مدلسازی   30

کنترل کننده‌های PID‌ مرتبه کسری.. 30

اهداف کنترلی در طراحی کنترل کننده‌ی مرتبه کسری.. 31

کنترل کننده‌های PID مرتبه کسری پایدارساز 34

معیارهای عملکردی سیستم های کنترلی در حوزه‌ی زمان. 37

حداکثر جهش ( ) 37

زمان خیز ( _r) 38

زمان نشست ( _s) 38

خطای حالت ماندگار 39

خصوصیات کنترل کننده‌های . 39

تحلیل پایداری.. 40

سرعت پاسخ. 40

روش پاسخ فرکانسی.. 41

حد تقویت.. 41

حد فاز 41

پهنای باند فرکانسی. 43

دینامیک وضعیت ماهواره 44

اندازه حرکت زاویه‌ای و ماتریس اینرسی. 44

معادلات گشتاور اویلر. 44

دستگاه مختصات پایه. 45

بردار سرعت زاویه‌ای یک دستگاه مختصات دورانی. 46

مشتق بردار سرعت . 48

معادلات حرکت وضعیت فضاپیما 48

گشتاورهای گرادیان جاذبه. 48

فصـل چهارم  53

تجزیه و تحلیل داده‌ها 53

کنترل کننده‌های PID مرتبه کسری پایدارساز  78

فصـل پنجم  101

جمع بندی و نتیجه‌گیری   101

پیشنهادها 102

منـابع و مآخـذ  105

منابع انگلیسی.. 105

منابع فارسی   108

پیوست   109

 

 

 

فصـل اول

مقدمه‌ای بر ماهواره و کنترل وضعیت

نیاز روز افزون بشر به کسب اطلاعات و ایجاد ارتباطات، اسباب رشد تکنولوژی‌های مختلف را ایجاد کرده است که از جمله‌ی این‌ها می‌توان به تکنولوژی فضایی اشاره کرد. تاریخچه این علم به حدود نیم قرن پیش باز می‌گردد؛ زمانی که دانشمندان اتحاد جماهیر شوروی سابق در چهارم اکتبر 1957 (12 مهر 1336)، توانستند یک ماهواره 92 کیلوگرمی به نام اسپوتنیک^[1] را در مداری به دور زمین قرار دهند و عصر سفرهای فضایی را عملاً آغاز کنند از آن تاریخ، تلاش دانشمندان کشورهای مختلف جهان پای انسان را به دوردست‌ها گشوده است.

علاوه بر پرتاب اولین ماهواره به فضا، آن‌ها موفق شده بودند اولین انسان، یعنی گاگارین^[2] را به فضا فرستاده[شکل 1-1] و اولین راهپیمایی فضایی را نیز توسط آلکسی لئونوف در سال 1965 میلادی انجام دهند. با این وجود، هر چه دهه 1960 میلادی به پایان خود نزدیک می‌شد، آمریکائی‌ها برتری خود را بیشتر نشان می‌دادند. در ژوئیه1969، آمریکائی‌ها تاریخ ساز شدند. در این تاریخ آن‌ها آمسترانگ و ادوین آلدرین را توسط فضاپیمای آپولو11^[3] به ماه فرستادند. پس از این، روسیه تلاش‌های خود را بیشتر صرف ساختن ایستگاه‌های فضایی در مدار زمین کرد.

 

شکل1-1 اولین پرتاب انسان به فضا [1]

در گذشته، مأموریت‌های فضایی بطور متعارف برنامه‌هایی عظیم و پرهزینه بوده‌اند که سال‌ها به طول می‌انجامیدند و محدود به دولت‌های ثروتمند و بزرگ یا آژانس‌های بین المللی می‌شدند؛ ولی امروزه دیگر این چنین نیست و پیشرفت‌های میکروالکترونیک، دستیابی به مأموریت‌های فضایی در مقیاس کوچک را میسر نموده‌اند؛ ضمن اینکه نتایج ارزشمند و مؤثری را نیز فراهم می‌کنند. توسعه فضاپیما‌های بهتر، ارزانتر، سریع‌تر و کوچک‌تر، ساخت و پرتاپ و فعال کردن ماهواره‌های کوچک را در انواع مدار‌ها برای هر کشوری میسر کرده است و در نتیجه دسترسی مستقیم به مزیت‌های فضا را برای آن‌ها به ارمغان آورده است. میکرو ماهواره‌ها با وجود اینکه خیلی کوچک هستند، اما کامل بوده و تمامی مشخصات ماهواره‌های بزرگ را دارند.

ماهواره‌ها بسته به نوع مأموریت‌شان در مدارهای ویژه‌ای قرار می‌گیرند. مدارهای ماهواره‌ای از نظر ارتفاع به سه دسته‌ی ارتفاع پایینLEO)^[4])، ارتفاع متوسطMEO)^[5]) و ارتفاع بالاHEO)^[6]) تقسیم می‌شوند]شکل 1-2[.

مدارهای LEO ارتفاعی در حدود چند صد کیلومتر، مدارهایMEO ارتفاعی در حدود چند هزار کیلومتر و مدارهای HEO ارتفاعی در حدود چند ده هزار کیلومتر دارند.

 

شکل1‑2– شماتیک مدارهای [2]

ماهواره‌ها باید همواره جهت دورانی خود را در فضا تعیین و حفظ کنند؛ این موضوع ضروری است. چرا که اگر آرایه‌های خورشیدی به طرف خورشید جهت‌گیری نشده باشند نمی‌توانند انرژی لازم را برای ماهواره تولید کنند. از طرف دیگر آنتن‌های آن‌ها نیز در صورتی که به طرف زمین نشانه‌گیری نشده باشند، قادر به دریافت و ارسال پیام به زمین نخواهند بود.

فرآیند تغییر وضعیت به یک وضعیت جدید را مانور وضعیت گویند. پایدارسازی وضعیت نیز شامل ثابت نگه داشتن وضعیت ماهواره نسبت به یک دستگاه مختصات مثل دستگاه مختصات مرجع مداری می‌باشد. به گشتاورهایی که به منظور کنترل وضعیت ماهواره به ماهواره وارد می‌شوند، گشتاورهای اغتشاشی می‌گویند. در حالت کلّی نمی‌توان از این گشتاورها صرف نظر کرد. لذا وجود سیستم کنترل وضعیت در ماهواره امری ضروری و لازم است. فرآیند و ابزار مورد نیاز برای کنترل وضعیت ماهواره را سیستم کنترل وضعیت می‌گویند.

وظیفه‌ی اصلی سیستم کنترلی، پایدارسازی وضعیت ماهواره در مقابل گشتاورهای اغتشاشی است. به ‌عبارت دیگر، سیستم کنترل وضعیت موجود در ماهواره را می‌توان شامل حسگرهای وضعیت، قانون کنترل و عملگر^[7]های کنترل دانست. حسگرهای وضعیت، وضعیت ماهواره را نسبت به یک مرجع خاص مشخص می‌کنند.

فرآیند کنترل یا قانون کنترل نیز مشخص می‌کند که چه زمانی و به چه مقدار گشتاور کنترل باید به ماهواره اعمال شود. مکانیزم تولید و تدارک گشتاور کنترلی نیز توسط عملگرها انجام می‌شود. نگه داشتن سیگنال خطا در محدوده‌ی مجاز، از وظایف سیستم کنترل وضعیت ماهواره می‌باشد.[27]

سیستم کنترل به صورت فعال یا غیرفعال است. در سیستم کنترل غیرفعال، گشتاور کنترلی لازم برای پایدارسازی وضعیت ماهواره از طریق محیط تولید می‌گردد؛ در حالی که در سیستم کنترل فعال از اجزاء تولید گشتاور یا محرکه‌هایی که نیازمند تولید توان می‌باشند استفاده می‌شود.

چرخ‌های کنترلی^[8]، پیشرانه‌ها و تولیدکننده‌های مغناطیسی گشتاور، از جمله عملگرهای مورد استفاده در ماهواره‌ها به منظور ایجاد گشتاور کنترلی می‌باشد. اگر سیستم کنترل بصورت فعال^[9] عمل کند، نقش عملگر در حلقه کنترل، قبل از دینامیک دستگاه در نظر گرفته می‌شود. عملگرهای کنترلی که در این کتاب بکار گرفته شده، نوعی چرخ عکس‌العملی هستند که وظیفه‌ی پایدارسازی سه محوره‌ی ماهواره^[10] را حول سه محور اصلی X، Y وZ بر عهده دارند.

در این پژوهش پیرو مرجع [9]، اقدام به طراحی کنترل کننده مرتبه کسری برای ماهواره‌ با عملگر مگنتومتر صورت گرفت، با این تفاوت که اولاً در اینجا ابعاد ماهواره کوچکتر در نظر گرفته است و ثانیاً عملگر مورد استفاده در این پژوهش چرخ عکس العملی است. همچنین در مرجع [29] اقدام به طراحی کنترل کننده مرتبه کسری با چرخ عکس العملی برای ماهواره گردیده که بهینه سازی بر روی بردار ورودی کنترلی صورت گرفته؛ اما در این پژوهش همین روند طراحی طی گردیده بطوری که بهینه سازی بر روی ضرایب کنترل کننده اعمال گردیده تا به نتایج مورد نظر دست پیدا شود.

حسابان کسری

پیدایش حسابان کسری

اصول و قواعد ریاضیات مرتبه کسری تقریبا به حدود300 سال پیش برمی‌گردد، اما کاربرد این شاخه از ریاضیات در حوزه‌ی مهندسی، ‌به سال‌های اخیر محدود می‌شود.

امروزه ایزاک نیوتن^[11] و گوتفرید لایبنیتز^[12] را مبدعان حساب دیفرانسیل و انتگرال(حسابان کلاسیک) می‌شناسند. که آن‌ها بطور مستقل از یکدیگر در قرن هفدهم پایه‌های اولیه حسابان را بنا‌ نهاده‌اند. بعد از طرح کردن مفهوم مشتق مرتبه کسری، هوپیتال نامه‌ای به لایبنتیز نوشته و می‌پرسد که مفهوم مشتق مرتبه 2/1 به چه معنا خواهد بود؟

اویلر^[13] برای یافتن پاسخی به سوال هوپیتال در سال1729 میلادی برای تابع فاکتوریل صورتی را تعریف کرد که این فرم انتگرالی به وی این امکان را می‌داد تا تابع فاکتوریل را به حوزه اعداد غیرطبیعی گسترش دهد..

(1‑1)

این تابع گسترش یافته که امروزه به تابع گامای اویلر یا به اختصار تابع گاما شهرت دارد،‌ چنین تعریف می‌گردد:

(1‑2)

اگر n عددی طبیعی باشد، آنگاه داریم

(1‑3)

قابل توجه است که استفاده از نماد متداول گاما^[14] برای نمایش تابع تعمیم یافته بالا برای اولین بار در سال 1808 میلادی توسط لژاندر^[15] پیشنهاد گردیده است. حال اگر تعریف کنیم

(1‑4)

آنگاه مشتق  ام این تابع به صورت زیر خواهد بود

(1‑5)

با استفاده از رابطه تعریف شده برای برای تابع فاکتوریل، عبارت فوق را می‌توان بصورت زیر تعریف نمود

(1‑6)

با توجه به این که تابع گاما برای اعداد غیرطبیعی نیز تعریف می‌شود، در سمت راست عبارت بالا لزومی ندارد که  عددی طبیعی باشد. به عنوان مثال اگر با توجه به سوال هوپیتال فرض کنیم  و قرار دهیم ، (1-7) نتیجه می‌دهد

(1‑7)

نتیجه فوق از تعریف مشتق کسری منسوب به اویلر می باشد.

ریمان^[16] در زمان دانشجویی‌اش در سال 1847 میلادی مقاله‌ای نوشت[3] که در آن عملگر انتگرال مرتبه کسری به فرمی که امروزه متداول است، تعریف گردیده است.

(1‑8)

از جمله تعاریف دیگر می‌توان به تعاریف ارائه شده توسط گرونوالد^[17] و للتنیکف^[18] که در اواسط قرن 19 میلادی پیشنهاد گردیده است اشاره نمود. از دیگر افرادی که در بازه زمانی اواخر قرن 19 میلادی تا دهه‌های پایانی قرن 20 میلادی در زمینه شکل‌گیری حسابان کسری نقش عمده‌ای را بازی کرده‌اند، می‌توان به ریاضی‌دانان مطرحی مانند میتگ-لفلر، هاردی، لوی، هادامار و لاو اشاره نمود.[4]

حسابان کسری در کنترل

ابزار حسابان کسری بعد از تکامل به دو طریق عمده باعث بهبود کارایی حلقه‌های کنترلی شده است: ارتقای کیفیت مدل‌سازی و ارتقاء کارایی کنترل کننده‌ها. این ابزار با فراهم آوردن بستر وسیع‌تری برای مدل‌های ‌دینامیکی به مدلسازی دقیق‌تر فرایندهای مهندسی کمک شایانی نموده است. بدیهی است که با در دست داشتن مدل دقیق‌تری از یک فرایند، می‌توان کنترل‌کننده‌ای مناسب‌تر نیز برای کنترل آن فرایند طراحی نمود. همچنین از آنجایی که کنترل کننده‌های سنتی حالت خاصی از کنترل کننده‌های مرتبه کسری^[19] هستند، استفاده از کنترل کننده‌های مرتبه‌کسری می‌تواند باعث ارتقاء کارایی سیستم‌های کنترلی طراحی شده با کنترل کننده‌های سنتی نیز شود.

اولین استفاده ها از حسابان کسری در مدل‌سازی پدیده‌های فیزیکی به دهه1930 میلادی بر‌می‌گردد. از آن زمان تا به امروز این ابزار در مدل‌سازی پدیده‌های فیزیکی بسیار زیادی مورد استفاده قرار گرفته است.

ایده‌ی طراحی اولین سیستم کنترلی مرتبه کسری به بود^[20] بر می‌گردد. وی در بخشی از کتابش که در سال 1945 میلادی منتشر شده است، تابع تبدیل ایده آل حلقه باز در یک ساختار کنترلی حلقه بسته با بازخورد واحد منفی [شکل1-3] را بصورت

(1‑9)

در نظر گرفته است. در رابطه بالا  فرکانس قطع^[21] تابع تبدیل حلقه باز مطلوب است. با فرض ، حد فاز^[22] و حد بهره^[23] سیستم کنترلی در نظر گرفته شده توسط بود به ترتیب برابر  و   خواهد بود. در این سیستم کنترلی با انتخاب مناسب  مقدار حد فاز می‌تواند به طور دلخواه تعیین شود.

ایده‌ی بود برای اولین بار در سال 1958 میلادی توسط تاستین^[24] به طور عملی پیاده‌سازی شد[4]. پیاده سازی کنترل کننده مرتبه کسری طراحی شده توسط تعدادی از فیلترهای پس فاز^[25] و پیش فاز^[26] تقریب زده شده است. از جمله دیگر فعالیت‌های اولیه در زمینه بکارگیری مفاهیم حسابان کسری در کنترل می‌توان به مقاله منبه^[27] که در فاصله‌ی زمانی سال‌های 1961 تا 1963 میلادی منتشر شده اند نیز اشاره نمود[6،5].

شکل 1-3- بلوک حلقه بسته شامل دستگاه و کنترل‌کننده [3]

تا قبل از دهه 1980 میلادی تحقیقات انجام شده در زمینه طراحی کنترل‌کننده‌های مرتبه کسری که به برخی از آن‌ها نیز اشاره شد، اغلب به صورت موردی بوده و در قالب یک ساختار منسجم قرار نمی‌گیرند. دلیل اصلی این مسأله را می‌توان ناکافی بودن دانش ریاضی در زمینه‌ی دینامیک‌های مرتبه کسری و همچنین توان محدود ابزارهای محاسباتی تا این دهه دانست.

اوستالوپ^[28] اولین فردی است که در قالب یک ساختار منسجم^[29] به طراحی کنترل کننده‌های مرتبه کسری  CRONE در سه نسل مختلف نتیجه‌ی فعالیت‌های وی از دهه 1980 میلادی تا به امروز در این زمینه است[7]. در دهه 1990 میلادی پودلوبنی^[30] با معرفی کنترل کننده‌های PID مرتبه کسری زمینه ساز تحولاتی شگرف در زمینه سیستم‌های کنترلی مرتبه کسری گردید.[8] از سال 2000 میلادی به بعد نیز شاهد فعالیت‌های گسترده‌ای هستیم که در آن‌ها ساختارهای کنترلی پیشرفته تر با استفاده از ابزار حسابان کسری طراحی و پیاده سازی گردیده است.

هدف این کتاب، استفاده از ریاضیات مرتبه کسری به منظور طراحی کنترل کننده برای پایداری سه محوره‌ی ماهواره است. به ‌علاوه که در اینجا مدل عملگر^[31] نیز در حلقه‌ی کنترلی لحاظ گردیده است. و خروجی‌های متناسب، از نرم‌افزار اخذ گردیده است.

از آنجایی که ما در طراحی کنترل کننده‌ی PID مرتبه کسری پنج پارامتر در دست داریم، نسبت به کنترل کننده‌ی  PID معمولی از آزادی عمل بیشتری برخوردار هستیم و در نتیجه بعضی از مشخصه‌های سیستم نسبت به کنترل کننده‌ی معمولی، بهبود پیدا می‌کند. این پنج پارامتر کنترل کننده عبارتند از؛ بهره ی ثابت خطا K_p ، بهره ی انتگرال خطا K_d  بهره‌ی مشتق خطا K_i ، مرتبه‌ی مشتق‌گیری کسری  و مرتبه‌ی انتگرال‌گیری کسری .

روش‌های کنترل خطی بر پایه این فرض کلیدی استوار است که برای اعتبار مدل خطی سیستم، محدوده کاری آن کوچک باشد. وقتی که محدوده کاری آن کوچک باشد، یک کنترل کننده‌ی خطی بسیار ضعیف عمل کرده و شاید ناپایدار شود، زیرا غیرخطی گری‌های درون سیستم به طرز مناسبی جبران نمی‌شوند. لذا، فرض خطی‌سازی در ان پژوهش، خطی سازی به ازای محدوده کاری کوچک، حول نقطه تعادل است و با این فرض، پایداری یک سیستم غیرخطی با پایدارسازی خطی توجیه می شود.

روش پیشنهادی نسبت به کارهای دیگر صورت گرفته، در نظرگرفتن مدل خطی شده‌ی دی‌کوپلِ سه درجه آزادی ماهواره است در حالی که در مدل چرخ عکس‌العملی، با در نظرگرفتن تابع تبدیل مناسب، مدل چنین عملگرهایی نیز در ساختار حلقه کنترلی لحاظ شده است.

در مرجع [9] کنترل وضعیت مدلی از ماهواره با ابعاد بزرگ و تقریباً وزن زیاد در حضور چرخ عکس العملی مورد بررسی قرار گرفته و مشخصه‌های خروجی مطلوب به نمایش گذاشته شده است. در این مقاله معادلات زوایای ماهواره با تکنیک تقریب با جمله اول بسط تیلور خطی سازی شده و معادلات در فضای حالت با ماتریس‌های A, B, C ارائه شده است. همچنین در مرجع [10] مدلی از چرخ عکس‌العملی بطور مفصل مورد بررسی و کنکاش قرار گرفته است. در مقاله‌ی [9] مدلی برای کنترل مرتبه کسری ماهواره ارائه شده که به بررسی کنترل وضعیت ماهواره با مدل مرتبه صحیح به وسیله‌ی کنترل کننده‌ی مرتبه کسری پرداخته است. مرجع [11] نیز به بررسی نواحی پایداری کنترل کننده مرتبه کسری به ازای ضرایب مختلف از k_p، k_i و k_d پرداخته است.  در این کتاب، برتری کنترل کننده‌های مرتبه کسری، در کارایی سیستم را نسبت به مرتبه صحیح آن در کنترل سه محوره‌ی ماهواره‌های از نوع میکروماهواره‌ها^[32] نشان می‌دهیم و مدل ساده شده و کارای چرخ عکس العملی را نیز در تابع تبدیل سیستم لحاظ می‌نماییم.

همچنین از روش‌هایی نظیر کدنويسي با نرم افزار MATLAB و محیط SIMULINK و تجزيه و تحليل رياضي، در حوزه‌ی حسابان مرتبه کسری و نظریه‌ی کنترل و همچنین اصول فیزیک و ریاضیاتی حاکم در بدست آوردن معادلات دیفرانسیل زاویه‌ای ماهواره استفاده شده است. در انتها با بررسی نواحی و مقادیری از ضرایب کنترل کننده که به ازای آن‌ها سیستم پایدار باقی می‌ماند، نمودارهایی را عرضه می‌کنیم و بمنظور اعتبارسنجی، نقاطی از درون این نواحی را انتخاب می‌کنیم و نشان می‌دهیم که سیستم به ازای این مقادیر از کنترل کننده پایدار باقی می‌ماند.